Главная

Важное пояснение
Друзья, к сожалению, за 10 лет я так и не нашёл времени развивать данный сайт так, как хотелось изначально. Поэтому сайт останется именно в таком незавершённом виде, тем не менее, на нём предостаточно полезной информации. Пользуйтесь ею по своему усмотрению, однако есть пара небольших ограничений, они такие же как на другом моём сайте: http://vlesu.biz/use/.

О чём говорится на этом сайте?

Представленная на сайте информация является обобщением того материала, который я читаю для студентов в рамках университетского курса дискретной математики. В первую очередь упор делается не на строгое изложение теории, а на технику и методы работы с производящими функциями, на их практическое использование для решения задач комбинаторики. Таким образом, главная цель сайта — собрать и популярно изложить основные положения, касающиеся техники работы с производящими функциями, опираясь больше на практику, чем на теорию.

Речь идёт не о любых производящих функциях: существуют разные их виды. Производящие функции используются в теории вероятностей, где они называются «производящие функции моментов», в механике (под названием «производящие функции канонического преобразования»), и даже в комбинаторике используются разные виды: экспоненциальные и полиномиальные производящие функции. Так вот на страницах этого сайта производящая функция последовательности рассматривается в полиномиальном (классическом) виде:

\begin{displaymath}
G(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_nz^n = a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots.
\end{displaymath}

Материал излагается максимально просто, порой даже в ущерб математической строгости. Но будьте уверены, все «манипуляции» на страницах этого сайта могут быть доказаны и полностью обоснованы. То есть это сайт не для учёных, а для учащихся.

Теоретический материал находится в разделе «Теория». Весь материал разбит на несколько лекций и приложений. Почти каждая лекция содержит примеры различной сложности (или несколько способов решения одной и той же задачи).

Бывают простые примеры, ориентированные на школьный уровень. В основном, это решение рекуррентных соотношений или просто примеры производящих функций, полученные из общих соображений при решении простой комбинаторной задачи. Такого рода задачи я даю школьникам, посещающим математические кружки.

«Средние» примеры — такие как числа Фибоначчи, задача о счастливых билетах, числа Каталана и правильные скобочные выражения, — это, как правило, классические примеры из обычных университетских учебников. Многие такие задачи я тоже даю школьникам.

По-настоящему сложными я называю только те задачи, которые ещё никто не решил. Правильнее назвать их исследовательскими проблемами. Такие проблемы, возможно, я тоже продемонстрирую на страницах сайта вместе с собственными соображениями о возможности (или невозможности) их решения.

Приложения к лекциям — это часть теоретического материала, подробное изложение которого неудобно или затруднительно делать в тексте самих лекций. Например, таблица производящих функций, различные пояснения, напрямую не связанные с темой лекции и т. д.